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そして三月へ

2013.02.28.Thu.00:55
どうも。


今日、外に出かけて思ったけど、もう春だなw←
いやー、あったかいのなんのって。



今日は、春休みの中間反省をしてみようと思う。


☆院試に向けた物理の復習

・量子力学■■■■□←達成度
 二~三月中に演習問題をとか言ってたけどまぁ三月からだよねwこれからが問題。

・電磁気学■□□□□
 んー、二月中に再読は無理だった。これから詰めていく予定。二巻後半もそのうち読まねば。

・統計力学■■■■■
 二月中に読破は達成。問題を田崎本のやるか久保本のやるか…

・解析力学■■■■■
 とりあえず院試に対応できるところまでは読んだつもり。同じく詰める必要がある。


・微分方程式■□□□□
 本を買ったものの積読orz 問題を解きつつやろう、と開き直り中。

・物理数学□□□□□
 Oh!!ノータッチw


院試物理に関しては「復習(理解)→練習→演習」の第一段階まで完了したかな?という感じ。
まぁ、詰めが甘いところがボロボロあるけどorz

これからは、そういう理解の詰めもしつつ、三月は練習の月に出来たらいいな。


反対に、数学の復習は芳しくないなorz
さっと、物理数学と追加で微積と線型の復習もしたいんだけどなー。


☆数学理論武装

こっちは反省する必要もないけど取りあえず。

・中原トポ■■■■□
 現在、一巻後半(Reimann幾何)、まぁ順調。

・測度論、ルベーグ積分、関数解析■■■□□
 結局、ヒルベルト空間論のを読んでいるw


んー、数学理論武装は、春休み中に終えて四月から課題研究に挑みたかったけど、ちょっときついかな~。




ひとまず三月は問題をガツガツ進めていけたらいいと思う。
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春休みも折り返し

2013.02.27.Wed.01:47

どうも。

今、ふとキーボードに向かって手をあげたら腕が痛い…
筋肉痛かなー、、歳だorz



さて、相変わらず解析力学2巻目に苦戦中。

幾何学のほうでもそうだけど、1径数変換群がまだよくわかってないからな気がする。
いまいち、イメージが掴めない。


最近は、解析力学が多め。

3月も近づいてきて、はやく物理の復習を1周終わらせたい所存。
3月頭から演習に手を付けていきたいけど解析力学がネックだろうな~orz



ヒルベルト空間と量子力学は、数学ばっかでつまらん…
(いや、数学の本なんだけどねw)

中原トポもリーマン幾何でうだうだしてる。




少し、気合いを入れなおさねば…

数学とは?

2013.02.25.Mon.10:06

どうも。

今朝は、いつもと違って早朝に目が覚めました(笑
生活リズムはどこへ行ったのだろうか…


ここ二日間は、国公立大学入試なのかな?

京大ではいつも通りの折田先生像が建てられたそうw
今年は最後までチョコたっぷりのアレだそう。



自分の同級生も一人今年度の大学入試を受けています。
いろいろと(一般的に)遠回りしてるけれど、今回こそと願うばかりだけど…





ふと思うけど、世の中の「数学」に対する認識は間違っている気がする。

なにかこう難しい計算をしてアラビア数字の答えをだして…
みたいなものは全て算数だ。


大学に入ってから数学は概念を学ぶものだと知った。

すなわち、そこに閉じている(自己矛盾の無い、well-definedな)ルール(定義)があればそれでよい。
あとは、そこから自明(trivial)を重ねていけば非自明(定理、non-trivial)が生まれていく。

例えば群論なんかがその極みかもしれない。

空でない集合Gがあって、その上の二項演算*:G×G→Gがあって
1. a*(b*c) = (a*b)*c、結合法則
2. a*e = e*a = aとなる単位元の存在
3. a*x = x*a = eとなる逆元の存在
これだけの定義で広大な世界が広がっていく。

これ、たしか高校の教科書に書かれていた気がする。
でも、こんな面白い世界があることを伝えられる教師は数少ないだろうなー。


僕の目から見れば上記した群論とオセロなんて同じようなものだと思う。



数学は、目の見えない(象をまったく知らない)人に例えば象がどんな動物か伝える手法だと聞いた気がする。
鼻が長い? 耳が大きい? 灰色? 大きい?

数学は、伝える人と伝えられる人の間に誤差を生じずに物事を伝えることができる。
再現性があるとも言えるかもしれないなー。

そういう側面も持っている。




高校までの、とにかく問題をとかなくちゃ気質が染みついている気もする。

もっと、こうボーっとこれってどう意味なんだろう?って考える時間があっても良いと思うけど。
そんな暇はないし、あっても他のことに使っちゃうんだろうな…

量子力学の原理の流れ

2013.02.21.Thu.18:56

どうも。寒いですね…


ここ最近、量子力学でもんもんしてました。

それはおそらく解析力学を「論理の流れ」のようなものに注意して読んだせい。
それぞれの分野の「原理」が気になりだした。


解析力学はいわゆる変分原理、統計力学は等確率の原理、電磁気はマクスウェル方程式だろう。
はてさて、量子力学は?となったわけである。



調べてみると、量子数や状態を記述する関数、力学量を記述するHermite演算子を定義したうえで、

1.正準力学変数が正準交換関係を満たすこと
2.時間発展は、Schrodinger方程式またはHeisenberg方程式で記述されること
   ※両方程式は同値

らしい…

さらに多粒子系になると、3.波動関数が粒子の入れ替えに対して対称または反対称、が加わる。



そして肝心なのが、これらに加えて「観測」に関して言及しなければならないこと。
つまり、いわゆるSchrodingerの猫の問題のように、

0.確立解釈規定を前提に、
1.ある力学変数に対して観測を行うとそれに対応する演算子の固有値が得られ、状態は固有状態となる


らしぃ…




うーん、自分でもあんまりよく解ってないなorz

つまりは量子力学は、解析力学のような原理的な部分と統計力学のような手段的な2本の柱を持っている気がする。



教科書は、だいたいドブロイ(歴史)の話から始まって、突然波動力学やらSchrodinger方程式が出てくる。
こういう学問としての流れで書かれた本もあっていいと思うんだけどな~





ないのかな?

Poincare君の補題

2013.02.18.Mon.01:52
どうも。

ああ、早く寝なければ…
なんてまぁ、明日は朝からバイトなのでそろそろ落ちないとヤバいんだが、、

なんせ、理論物理学のための幾何学とトポロジーを読んでいたら少し思いついたことがあって!!



Poincareの補題について。

この補題は、ある微分形式について「閉形式であること」と「完全形式であること」の関係なんだけど。
(つまり、閉形式ならば完全形式であるか?またはその逆)

簡単に説明すると、

閉形式…境界をもたない図形
完全形式…図形の境界


であり、完全形式ならば閉形式であること。
すなわち、境界は境界をもたない、ということは比較的簡単にわかる。



今回、うんうん悩んでいたのはその逆。

要は、境界を持たない図形は、何かの境界になっているのか?という話。

これをポアンカレ君が、
その図形が一つの点に(連続的に)するする縮められたらなにかの境界になっている、ということを示したらしい。


そこまでわかって、そこから証明がなかなかわからなかったorz

結局、この本の証明でやっていることを円周(円)で再現してみよう!!


単円の円周を考えてみる。

この図形(円周)は境界を持たないし、原点にするする縮めることができる。

そこで、原点までするする縮めている間に円周が掃く部分を全て集めた図形を考える。※
この場合もちろんそれは内部を含めた単円になる。

よって、境界を持たない図形(円周)は今のように構成された図形(単円)の境界となっている。



ということが一般的に難し~く書いてある!!!

少しだけ説明すると、多様体上の閉形式を1点に縮める過程を(多様体×R)で表現し、それをまた多様体上に焼きなおしてからその境界をとっている(-Д-)みたいな?w※




とりあえず、この補題が理解できただけで満足です。

おやすみなさい(~ω~)
続きを読む "Poincare君の補題"

熱力学の原理とは

2013.02.17.Sun.01:16

どうも。


ここ数日は、のんびりと物理してる感があります。

前、書いたとおり解析力学1 (朝倉物理学大系)を読み終わった。
そんで3時くらいまで総まとめをしてみたり…

月曜日に生協で2巻目を買ってくる予定。
(他の本も買うかも)


そして、田崎さんの統計力学〈2〉もサクサク?読んでいる。




第9章でのミクロカノニカル、カノニカル、グランドカノニカルの各分布についての比較。

まぁ、比較のところは結局それぞれがルジャンドル変換で結ばれている。
さらに(幾何学的に)言えば座標変換しているだけなので…


気になったのはそこではなくて、「変分原理」のところ。

変分原理…


変分原理!?




変分原理(◎Д◎)!!

知ってるやつktkrというわけで…


やはり、そうなってくると気になるのは解析力学との関係!!


結論から言えば、(この段階では(統計力学でなく)熱力学を考えていたので)

完全な熱力学関数の停留点?極値?が実際の平衡状態を与えるもので、(U,V,N)表示ではSが、(T,V,N)表示ではFが、(T,μ,V)表示ではJがその関数である…となった。



田崎さん曰くの「完全な熱力学関数」が作用(積分)に対応し、停留曲線なんかを考えていた解析力学に比べて、ここでは関数の凸性で条件を与えていた。

凸性を考えるとかっくんかっくんまがっていても議論できるような利点があるっぽい。




今現状、自分の能力として分析できるのはここまでと本能で感じたためにここまでにした。


最終目標は、解析力学の相(状態)空間から出発して、
ハミルトンの原理を通って?、
等確率の原理を通って、
熱力学の3次元多様体かなんかに行きつけたら満足。

おそらくシンプレクティック多様体やらFinsler多様体を使わないと厳しいのかな?
道のりは遠い…orz



そう言えば最近はぜんぜん素論ってないな~w

解析力学は奥深い

2013.02.15.Fri.17:38

どうも。

ずいぶんと前に買って、(数学力が足らず)読んでいなかった本を(とりあえず)読み終わったw

解析力学1 (朝倉物理学大系)解析力学1 (朝倉物理学大系)
(1998/09)
山本 義隆、中村 孔一 他

商品詳細を見る

あくまで個人的感想だけど、いわゆる「木を見て森を見」ない状況に陥ってしまいそうな本。
読み終わってから、内容を少しまとめたのでここに書いてみようというわけだw←

自分の理解の浅いところが露呈するな…orz

まぁ、誤解を恐れずに、この本の地図を書くような感じで、、、



スタート。




『ラグランジュ形式』


運動方程式> ⇒ <ラグランジュ方程式
   ↓
これを拘束がレオノーマスな場合に拡張すると、
   ↓
ダランベールの原理>(≡加えられた力と完成力が吊りあう) ⇒ <ラグランジュ方程式>
 ※ラグランジアン≡(運動エネルギー - ポテンシャル)

このとき、
「系が変換に対して対称」 ⇒ 「第1積分を持つ」保存則
   ↓
ネーターの定理>(≡モーメント関数が第1積分となる)
 ※循環座標     に関する第1積分、または(保存量でない場合も)一般にその関数≡一般化運動量
 ※時間の平行移動に関する第1積分、または(保存量でない場合も)一般にその関数≡ハミルトニアン
     ※※ハミルトニアン=const ⇒ ハミルトニアン≡エネルギー積分
 また、
    ↓
 第1積分が存在すればそれだけ次元が減った空間で考えることができる
    ↓
 そのときのラグランジアンに値するもの≡ラウシアン


『変分原理』

出発点を運動方程式からハミルトンの原理に変更すると、

ハミルトンの原理≡real pathは、作用積分の停留曲線で与えられる
⇔<ラグランジュ方程式>
 ※作用積分≡ラグランジアンの経路に沿った積分

ハミルトンの原理は、微分方程式に依るラグランジュ方程式に比べ、端点を固定した変分法に依る

変分法の基本公式 ∵作用積分

ハミルトンの原理を裏返しのように表現すると、
←→<ワイスの原理>≡real pathに沿った作用積分の任意の変分は端点からの寄与のみの式で与えられる
               ⇒ real pathに沿った作用積分≡ハミルトンの主関数

ワイスの原理とハミルトンの原理 ⇒ 変分法の基本公式

   ↓
ネーターの定理(拡張Ver.)
 ≡ラグランジュ方程式orハミルトンの原理が普遍になるような対称変換に対してネーターカレントが保存
  ※ネーターカレント≡モーメント関数の一般化


『保存系』

特に、常日頃出てくるエネルギーが保存する形を特筆すると、

作用≡ハミルトニアンを第1積分としたラウシアンの作用積分

最小作用の原理>⇔保存系での変分原理(≡端点を固定した作用の積分はゼロ)
 ≡real pathは作用の停留曲線
  ※※もし、tが閉じた形で求まる場合→<ヤコビの原理>として具体的な形で与えられる

ワイスの原理> → ハミルトンの特性関数


『ハミルトン形式』∵ラグランジュ形式は不便

<ラグランジュ方程式> → <正準方程式
 ※ハミルトニアン≡座標と運動量をパラメータにとったハミルトニアン

今まで、ラグランジュ形式で論じてきたことを次々とハミルトン形式に焼きなおすことができる
   ↓
修正されたハミルトンの原理 ⇔ 正準方程式
相空間上のワイスの原理
相空間に持ち上げられた変分法の公式
 ∵修正されたハミルトンの原理と相空間上のワイスの原理

ハミルトニアンは、ラグランジアンのルジャンドル変換

また、
第1積分、ラウシアンあたりの話は、
  ↓
カルタンの相対積分不変量ポアンカレの絶対積分不変量、<カルタンの原理>に置き換わる

正準変換>≡正準方程式(修正されたハミルトンの原理)を保つ変換 → 群をなす



以上のことが、こと細かく書かれているだけである。
ex.拘束があるorなし、局所座標or幾何学的(局所座標に依らず)に書かれているか

また、それを表現する空間が、
状態空間、拡大状態空間、相空間、拡大相空間、さらにシンプレクティック多様体上でも場合わけできる。




はい、どうだったでしょうか?

頑張ったでしょ? 誉めてほめてw

また、2巻ものなので次買ってきます…はいw
続きを読む "解析力学は奥深い"

Akiane Kramarik

2013.02.13.Wed.01:24
どうも。絶賛夜型生活実施中ですw


飽きもせず『さくら荘のペットな彼女』にはまり、「才能」や「天才」に興味を抱く今日この頃。

ふと、同書の主人公、椎名ましろのような天才画家はいるのか?
気になって調べてみた。




いたんです、これが!?

Akiane Kramarik さん

1994年生まれ…年齢的にもぴったりなリアルましろん?


なんと4歳ごろから絵を描き始めた様子(began drawing at 4, and painting at 6)。
7歳からは詩も詠んでいるみたい…


彼女のホームページもある様子。
ぜひ、Galleryに飛んで、作品を見ていただきたい。



んー、やはり天才、神童か!?

リンクを飛んでenterする前の写真が…っま、ま、ましろん?
現実にいたらこんなかなって感じ、、外人だけどw




ただ、彼女は、椎名ましろよりかなりスピリチュアル。

そこはさすがクリスチャン、この才能は神から与えられ、神と共に描くようです。

『インディゴ、クリスタル・チルドレン~アキアネ・クラマリック』←インタビュー動画的なもの。



とりあえずファンになりそうです。


Akiane: Her Life, Her Art, Her PoetryAkiane: Her Life, Her Art, Her Poetry
(2006/03/07)
Akiane Kramarik、Foreli Kramarik 他

商品詳細を見る


2000円程度で画集が買えるので、買ってみようかと思います。



最近は、美術欲が出てたのでちょうどよかった。

遅めの目標

2013.02.11.Mon.00:12

『 漢になる !!! 』 また、成長させられてしまった。



久しぶりの更新になりました。

嫁が1週間ほどMy Homeに来ていたので。
その間、デート三昧で心と身体のリフレッシュができた。


勉強のほうも完全に放置するわけでもなく、、、
ちょろちょろ一緒に勉強できたのでまたこれから調子を上げていこう。


高校の部活(テニス)で聞いた話。

1日テニスをしないと、勘を取り戻すのに3日かかる。
勉強にも当てはまるのだろうか?

『継続は力なり』
これは、小学校高学年の担任が掲示板に張り付けていた目標だ。




さて、また今日から頑張ろう。

数学との付き合い方

2013.02.03.Sun.00:28

どうも。

ついに2月。今日はシフト入っていないのに出勤して恥ずかしい思いをしたorz




ついに『さくら荘のペットな彼女』最新刊まで読み終えた。

ネタばれをしないように少し感想を書くとすると…


自分的にドはまりなラノベだった!!!

ラブコメと言えばそれまでだが、「才能」といったテーマが自分としてタイムリーだった。
それに物語の進むテンポといい、登場人物それぞれあたりの文章の配分もGood !!!

異論は出るかもしれないが自分としてはお気に入りNo1に値するものだ。





閑話休題。 …しないと止まらなくなるのでまた改めて記事にすることにしよう。



先日、多大なる目標というかノルマを書いてみたわけだが…

いやはや、多い…



一つ当たりに割くことができる時間が少ない分、前回の内容を忘れてしまいそうになる。

まぁ、毎日それに触れていれば問題ないことだが。



1冊本を買うことにした。偏微分方程式のやつ。

散々、迷って迷いに迷って、結局、


偏微分方程式入門偏微分方程式入門
(2006/08)
神保 秀一

商品詳細を見る


にした。



いわゆる物理数学を学ぶときに非常に悩む。


自分としては、しっかり数学的に基礎から学びたいものだが、なんせそれに割ける時間も労力も無いorz
そして、なにより問題なのが数学の本で数学を学ぶと、問題が解けない!!!!

かといって物理数学と銘打っている本で学ぶと問題を解くアルゴリズムだけだったり、上っ面の理解しか得られないようで気にくわないorz



この間をうまく書いてくれている本が好みなのだが、なかなか無い(し、それ自体不可能なのかもしれない)。





前に、物理屋としてならば数学は道具でしかない、そこまでやる必要はない、と言われた。


が、やはり車を上手く運転するにあたってメカに詳しいことに越したことは無いと思う。
ましてや、新しいものを生み出そうとするには。

である。
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