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申請者のこれまでの…ウッ

2015.05.24.Sun.23:23

このblogでTex形式で数式を書けるように設定してみた。
※ガラケーからの閲覧には未対応


ためしに前々からしたかった話を書こう。
「いったい君は何をやっているんだ?」という質問に対する答え。

ズバリ、動的臨界現象についてである。

はてさて、動的臨界現象とは何か…

学部で習うように、2次相転移の臨界点では相関長が発散する。
そして、その影響で比熱など、いくつかの物理量が発散する。

実は、このような特異な振る舞いは静的な(時間に依存しない)物理量に限らない。

臨界点では、系が刺激を受けてから平衡状態へ戻るまでの“緩和時間”も発散する。
それを受け、粘性など動的な(時間に依存する)物理量の中にも発散するものが現れる。

このような現象を動的臨界現象と呼び、M1の頃はこれを勉強していた。


さて、これを数式を用いて少しだけ詳しく…

相転移とは微視的なゆらぎによる巨視的な現象である。
そして、動的性質を扱うためには運動方程式が必要だ。

それには、Langevin方程式;
\begin{eqnarray}
\frac{\partial \psi^{\alpha}}{\partial t} - F^{\alpha}[\psi](x,t) & = & \zeta^{\alpha}(x,t)
\end{eqnarray}
を用いる。ただし、$\psi$は系の秩序変数だ。

左辺は巨視的な運動方程式をなす。
一方、左辺の$\zeta$は、“noise term”や“stochastic term”と呼ばれ、微視的なゆらぎの効果を表している。

この項は、ある確率で微視的なゆらぎが影響を与えると考え、確率過程として扱う。
すなわち、$\zeta$には、
\begin{eqnarray}
<\zeta^{\alpha}(x,t)> & = & 0 \\
<\zeta^{\alpha}(x,t) \zeta^{\beta}(x',t')> & = & 2L^{\alpha}\delta(x-x')\delta(t-t')\delta_{\alpha \beta}
\end{eqnarray}
という統計性を課す。

おそらく大多数の人はなんのこっちゃという感じだろう…

でもまぁ、この巨視的な運動方程式に微視的なゆらぎの効果を確率過程として取り込んだ方程式で動的臨界現象が解析できるのだ。

統計性を持ち込んだので全ての物理量は$\zeta$について期待値を取らねばならない。
\begin{eqnarray}
A_{phys}(x,t) & = & < A[\zeta](x,t) >_{\zeta}
\end{eqnarray}
QFTや有限温度の場の理論を知っている人ならなんとなく想像はつくと思うのだが、この期待値をとる操作を利用して場の理論の計算手法を導入することができる。
すると、いつもとは違うファインマン図なんかが出てきて、おもしろく…


長くなってきたのでこの辺で。

モチベーションはQCDの臨界終点への応用とかにある。
原子核ハドロンの研究室だし。



難しかったかもしれないけど、僕はこのようなことをやっている。

以上。
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