解析力学は奥深い

2013.02.15.Fri.17:38

どうも。

ずいぶんと前に買って、(数学力が足らず)読んでいなかった本を(とりあえず)読み終わったw

解析力学1 (朝倉物理学大系)解析力学1 (朝倉物理学大系)
(1998/09)
山本 義隆、中村 孔一 他

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あくまで個人的感想だけど、いわゆる「木を見て森を見」ない状況に陥ってしまいそうな本。
読み終わってから、内容を少しまとめたのでここに書いてみようというわけだw←

自分の理解の浅いところが露呈するな…orz

まぁ、誤解を恐れずに、この本の地図を書くような感じで、、、



スタート。




『ラグランジュ形式』


運動方程式> ⇒ <ラグランジュ方程式
   ↓
これを拘束がレオノーマスな場合に拡張すると、
   ↓
ダランベールの原理>(≡加えられた力と完成力が吊りあう) ⇒ <ラグランジュ方程式>
 ※ラグランジアン≡(運動エネルギー - ポテンシャル)

このとき、
「系が変換に対して対称」 ⇒ 「第1積分を持つ」保存則
   ↓
ネーターの定理>(≡モーメント関数が第1積分となる)
 ※循環座標     に関する第1積分、または(保存量でない場合も)一般にその関数≡一般化運動量
 ※時間の平行移動に関する第1積分、または(保存量でない場合も)一般にその関数≡ハミルトニアン
     ※※ハミルトニアン=const ⇒ ハミルトニアン≡エネルギー積分
 また、
    ↓
 第1積分が存在すればそれだけ次元が減った空間で考えることができる
    ↓
 そのときのラグランジアンに値するもの≡ラウシアン


『変分原理』

出発点を運動方程式からハミルトンの原理に変更すると、

ハミルトンの原理≡real pathは、作用積分の停留曲線で与えられる
⇔<ラグランジュ方程式>
 ※作用積分≡ラグランジアンの経路に沿った積分

ハミルトンの原理は、微分方程式に依るラグランジュ方程式に比べ、端点を固定した変分法に依る

変分法の基本公式 ∵作用積分

ハミルトンの原理を裏返しのように表現すると、
←→<ワイスの原理>≡real pathに沿った作用積分の任意の変分は端点からの寄与のみの式で与えられる
               ⇒ real pathに沿った作用積分≡ハミルトンの主関数

ワイスの原理とハミルトンの原理 ⇒ 変分法の基本公式

   ↓
ネーターの定理(拡張Ver.)
 ≡ラグランジュ方程式orハミルトンの原理が普遍になるような対称変換に対してネーターカレントが保存
  ※ネーターカレント≡モーメント関数の一般化


『保存系』

特に、常日頃出てくるエネルギーが保存する形を特筆すると、

作用≡ハミルトニアンを第1積分としたラウシアンの作用積分

最小作用の原理>⇔保存系での変分原理(≡端点を固定した作用の積分はゼロ)
 ≡real pathは作用の停留曲線
  ※※もし、tが閉じた形で求まる場合→<ヤコビの原理>として具体的な形で与えられる

ワイスの原理> → ハミルトンの特性関数


『ハミルトン形式』∵ラグランジュ形式は不便

<ラグランジュ方程式> → <正準方程式
 ※ハミルトニアン≡座標と運動量をパラメータにとったハミルトニアン

今まで、ラグランジュ形式で論じてきたことを次々とハミルトン形式に焼きなおすことができる
   ↓
修正されたハミルトンの原理 ⇔ 正準方程式
相空間上のワイスの原理
相空間に持ち上げられた変分法の公式
 ∵修正されたハミルトンの原理と相空間上のワイスの原理

ハミルトニアンは、ラグランジアンのルジャンドル変換

また、
第1積分、ラウシアンあたりの話は、
  ↓
カルタンの相対積分不変量ポアンカレの絶対積分不変量、<カルタンの原理>に置き換わる

正準変換>≡正準方程式(修正されたハミルトンの原理)を保つ変換 → 群をなす



以上のことが、こと細かく書かれているだけである。
ex.拘束があるorなし、局所座標or幾何学的(局所座標に依らず)に書かれているか

また、それを表現する空間が、
状態空間、拡大状態空間、相空間、拡大相空間、さらにシンプレクティック多様体上でも場合わけできる。




はい、どうだったでしょうか?

頑張ったでしょ? 誉めてほめてw

また、2巻ものなので次買ってきます…はいw
 
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