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Poincare君の補題

2013.02.18.Mon.01:52
どうも。

ああ、早く寝なければ…
なんてまぁ、明日は朝からバイトなのでそろそろ落ちないとヤバいんだが、、

なんせ、理論物理学のための幾何学とトポロジーを読んでいたら少し思いついたことがあって!!



Poincareの補題について。

この補題は、ある微分形式について「閉形式であること」と「完全形式であること」の関係なんだけど。
(つまり、閉形式ならば完全形式であるか?またはその逆)

簡単に説明すると、

閉形式…境界をもたない図形
完全形式…図形の境界


であり、完全形式ならば閉形式であること。
すなわち、境界は境界をもたない、ということは比較的簡単にわかる。



今回、うんうん悩んでいたのはその逆。

要は、境界を持たない図形は、何かの境界になっているのか?という話。

これをポアンカレ君が、
その図形が一つの点に(連続的に)するする縮められたらなにかの境界になっている、ということを示したらしい。


そこまでわかって、そこから証明がなかなかわからなかったorz

結局、この本の証明でやっていることを円周(円)で再現してみよう!!


単円の円周を考えてみる。

この図形(円周)は境界を持たないし、原点にするする縮めることができる。

そこで、原点までするする縮めている間に円周が掃く部分を全て集めた図形を考える。※
この場合もちろんそれは内部を含めた単円になる。

よって、境界を持たない図形(円周)は今のように構成された図形(単円)の境界となっている。



ということが一般的に難し~く書いてある!!!

少しだけ説明すると、多様体上の閉形式を1点に縮める過程を(多様体×R)で表現し、それをまた多様体上に焼きなおしてからその境界をとっている(-Д-)みたいな?w※




とりあえず、この補題が理解できただけで満足です。

おやすみなさい(~ω~)

※追記【お詫び】

どうやら、円周(と円)の説明が例えということを考慮しても正しくない疑惑が浮かんだ。
ん~、まだまだ不勉強…
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